韩信点兵,和鸡兔同笼一样经典的聪明题



在朋友圈里发了一道奥数题目:

“一个数除以3余1,除以5余3,除以7余5,最小的三位数是多少?”在小乐教室门口偷听方法,能做出来的举手。

答复的人中两位女士给出了正解:3,5,7的最小公倍数再加上2,也就是3x5x7+2=107。其他和我差不多,呵呵。

题目发出后,我纠正了一下,原题应该是:“一个数除以3余2,除以5余3,除以7余5,最小的三位数是多少?”要更难一些。

这是乐乐现在在一个奥数班中学习时带回来的练习题,说实话,我就没想起最小公倍数的事情,硬凑的答案,还和小乐解释了半天:

什么5的倍数末尾应该是0或5,余3那就应该是3或8。 什么3的倍数,那就是3个数之和应该是3的倍数。最小的三位数从1百开始凑起,减去2之后三个数字之和是3的倍数,比如113或128。
然后7就没啥招了,我们就硬凑吧,113,128都去除7看看余多少,发现不对,我们就加30。 凑着,凑着,凑到了173,发现除以7,余数为5,总数凑出来了。

结果小乐听地迷迷糊糊,我也就就这样了。(我对奥数的态度还是认为少数人的游戏,其实不必每个人都参与。)

后来晚上跟着小乐去上课,在门口偷师。才知道了这道题的方法还是要从最小公倍数的角度去解。还说了个“韩信点兵”的口诀,没听清楚,查百度大致意思是:韩信带1500名兵士打仗,战死四五百人,站3人一排,多出2人;站5人一排,多出4人;站7人一排,多出6人。韩信马上说出人数:1049。(有关韩信点兵的故事版本很多,大家自行搜索)

回到题目:“一个数除以3余2,除以5余3,除以7余5,最小的三位数是多少?”

除以5余3,除以7余5,也就是这个数补上2之后就应该是5和7的公倍数,最小就是5X7-2=33,然后要满足除以3余2,33不行,下一个数需要加上5和7的公倍数35,那就是68,刚好除以3余2,就可以满足要求了。只不过再要考虑是最小的三位数,那就是68再加上3和35的公倍数,68+3X35=173。答案出来了,复杂吧,小学四年级啊。虽然我觉得有趣,但实在是有点折磨人。

再来看看我们古人是怎么算的:

三人同行七十稀, 五树梅花廿一枝, 七子团圆正半月, 除百零五便得知。

什么意思呢?前三句话说的是“能被5与7整除而被3除余1的数70,被3与7整除而被5除余1的数21,被3与5整除而被7除余1的数15。”

按此计算:

除以3余2,70x2=140 除以5余3,21x3=63
* 除以7余5,15x5=75

然后把三个数加起来,140+63+75=278,就满足“一个数除以3余2,除以5余3,除以7余5”了。

最后一句话“除百零五便得知”,是说105是3,5,7的最小公倍数,那么把结果可以减去105,也就是278-105=173,正是题目的答案。

古人牛吧!原来觉得鸡兔同笼 那个已经够强的了,这个韩信点兵丝毫不逊啊。既然是有故事的,小乐想必应该是有兴趣的,下次找个时间给小乐讲讲这个故事和诗。

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